Совсем недавно я услышал от своих студентов, что на лекциях по
электродинамике лектор сказал следующее: "В Советском Союзе было принято
приписывать русские имена к теоремам и законам, открытым на Западе. На самом
деле Остроградский не имеет отношения к теореме, которая называется теоремой
Гаусса". Не останавливаясь на этической стороне
этого утверждения, приведу лишь исторические факты,
связанные с теоремой Остроградского-Гаусса, и прежде всего процитирую
Дж. К. Максвелла: "Эта теорема впервые выведена Остроградским в 1828 г".
Так он сказал о теореме преобразования объемного интеграла в поверхностный
(в векторном анализе ее называют теоремой о дивергенции),
которую мы привыкли записывать в виде
где в левой части интегрирование осуществляется по объему, а в правой -- по
поверхности, ограничивающей этот объем.
(Цитируется по
книге J. C. Maxwell, "A Treatise on Electricity and Magnetism", vol. I, page 117, 1873.
Существует русский перевод "Трактат об электричестве и магнетизме".)
Теперь собственно об истории.
В 1828 г. 27-летний русский математик М. В. Остроградский доложил на заседании
Петербургской Академии наук о своих исследованиях в области переноса тепла,
а вскоре опубликовал по этим результатам статью "Note sur la theorie de la
chaleur" (Заметка по теории теплоты) в журнале Парижской
Академии наук Mem. l'Acad. 1, 5/XI, p. 129, где в самом
общем виде была доказана следующая формула
которая является ничем иным, как иной формой записи приведенного выше выражения
(1) в векторных обозначениях.
Дальше следует вопрос: почему теорема о дивергенции часто
называется все-таки теоремой Остроградского-Гаусса, т.е. почему здесь указывается
и имя Гаусса, а порой, чаще всего в английской и немецкой литературе, только его имя
и упоминается? Дело в том, что в 1813 г. Гаусс опубликовал фундаментальную
работу "Theoria attractionis
corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodo nova tractata",
в которой он исследовал задачу о притяжении точки трехосным эллипсоидом. Здесь
он впервые развил процедуру сведения объемного интеграла к поверхностному
для простых функций в выражении (2)
и для нескольких частных случаев ограничивающих поверхностей. Более того,
в 1830 г. в работе "Allgemeine Lehrsaetze in Beziehung auf die im verkehrten
Verhaeltnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und
Abstossungskraefte" ("Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания,
действующих обратно пропорционально квадрату расстояния") Гаусс доказал теорему
о среднем для гравитационного потенциала, которой мы часто
пользуемся в том числе в электродинамике, а именно: среднее значение потенциала
по поверхности шара, внутри которого не содержится притягивающих масс, равно
его значению в центре. Следом была выведена формула
где интегрирование ведется по поверхности, ограничивающей массу
,
а под знаком интеграла стоит производная потенциала вдоль внутренней нормали
к поверхности 
. Таким образом, здесь Гаусс в явном виде
записал интегральное соотношение, соответствующее теореме о дивергенции для частного
случая кулоновских полей. Поэтому появление имени Гаусса при цитировании
теоремы о дивергенции для кулоновский полей вполне закономерно. Однако следут
помнить о том, что эта теорема в общем виде была доказана впервые Остроградским.
Далеко не всегда (особенно в последние годы) это обстоятельство принимается
в расчет, а иногда приводит и к таким несуразным высказываниям, одно из
которых побудило меня написать эту заметку.
Трудно сказать, по какой причине имя Остроградского вытирается при цитировании
теоремы о дивергенции. Таких причин может быть в действительности несколько. Самая
банальная состоит в том, что произнести "теорема Гаусса" проще, чем "теорема
Остроградского-Гаусса", особенно для нерусскоговорящего. Однако, не последнюю
роль могут играть соображения приоритета со стороны того или иного
научного сообщества. Как уже я упоминал выше, в Германии и в англоязычных
странах упоминается в большинстве случаев только имя Гаусса, иногда имена
Грина и Стокса (теорема Стокса -- это также теорема о конверсии процедуры
интегрирования к меньшему числу измерений, а именно преобразование поверхностного
интеграла к линейному -- она известна как теорема о циркуляции). С другой стороны,
во французской литературе, часто называется только имя Остроградского. Традиции
цитирования в нашей стране, как правило во все времена были более
корректны, поэтому чаще всего теорема о дивергенции называется у нас
теоремой Остроградского-Гаусса. Разумеется каждый из нас волен соотносить эти
теоремы с теми именами, которые ему наиболее симпатичны (или удобопроизносимы),
но при этом не следует забывать о достойном отношении к тем людям, наследием
которых мы пользуемся.
См. также